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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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1. Calcule los siguientes límites
e) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{3}+1}-x}{x+5}$

Respuesta

Al igual que en el item anterior tenemos una indeterminación "infinito menos infinito". Arrancamos multiplicando y dividiendo por el conjugado:

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(\sqrt{x^{3}+1}-x)(\sqrt{x^{3}+1}+x)}{(x+5)(\sqrt{x^{3}+1}+x)} $

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{(x+5)(\sqrt{x^{3}+1}+x)} $

Y ahora se viene cuentosa la situación eh, nada que ver con el item anterior (parecían muy iguales eehhh jaja pero no!) Vamos despacito, arrancamos haciendo la distributiva en el denominador:

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{x\sqrt{x^{3}+1} + x^2 + 5\sqrt{x^{3}+1} + 5x} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{x\sqrt{x^{3}+1} + x^2 + 5\sqrt{x^{3}+1} + 5x}$

Sacamos factor común $x^3$ adentro de las raíces:

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{x\sqrt{x^{3}(1+\frac{1}{x^{3}})} + x^2 + 5\sqrt{x^{3}(1+\frac{1}{x^{3}})} + 5x} $

Distribuimos las raíces y usando propiedades de potencias nos queda:

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3 + 1 - x^2}{x^{\frac{5}{2}}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + x^2 + 5x^{\frac{3}{2}}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + 5x} $

Ahora sacamos factor común "el que manda", que sería $x^3$ en el numerador y $x^{\frac{5}{2}}$ en el denominador:

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{x^{\frac{5}{2}}(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{x^2}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{5 x^{3/2}\sqrt{1 + \frac{1}{x^3}}}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{5x}{x^{\frac{5}{2}}})} $

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{x^{\frac{5}{2}}(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + x^{-\frac{1}{2}} + 5x^{-1}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + 5x^{-\frac{3}{2}})} $

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{x^{\frac{5}{2}}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{5}{x^{\frac{3}{2}}}\right)} $

Ufff, dale que ya casi terminamos. Ahora, de nuevo, por propiedades de potencias nos queda:

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{5}{x^{\frac{3}{2}}}\right)} = +\infty $

Problema cuentosísimo si los hay, tranqui que ahora afloja en los próximos 😅 Igual estuvo bueno para seguir optimizando y ganando fluidez en todo lo que es sacar factor común y trabajar con propiedades de potencias. 
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Avatar Manuel 13 de mayo 15:07
Holaaa, una pregunta, se podria sacar factor comun X adentro de la raiz desde un principio? Yo hice eso y pense que como no lo habias hecho estaba mal porque la raiz de X al cuadrado daba modulo de X, pero luego en el punto G vi que sí lo hiciste asi que me agarro la duda. Gracias!
Avatar Flor Profesor 13 de mayo 16:28
@Manuel Hola Manuel! No sé si entendí del todo lo que hiciste, ojo porque este ejercicio es bastante más cuentoso que el g) y en este caso el que sacamos factor común adentro de la raíz es $x^3$

Vos lo que hiciste fue sacar factor común el $x^3$ adentro de la raíz antes de hacer la distributiva? Si es así, está bien también, en algún punto deberías haber llegado de nuevo a lo mismo que yo 
Avatar Flor Profesor 13 de mayo 16:29
@Manuel Avisame igual si entendí bien tu pregunta y sino posta lo seguimos charlando
Avatar 4 de mayo 19:35
Hola florrr, perdon  joda un domingo.. hice un ejercicio super cuentoso como este je, pero me trabe.. entiendo  en el denominador, en los dos primeros terminos podria sacar factor comun n^4 y en los otros dos terminos 4n^2.. o tambien pense en dejar todo con n^2 y desarmar el n^4 del numerador pero no se :(((( como podria seguir??? graciassss

Cami
Avatar 4 de mayo 19:35
@ 2025-05-04%2019:35:46_2167709.png
Avatar Flor Profesor 5 de mayo 08:50
@ Hola Cami! Venis perfectamente encaminada! Fijate que ahora en el denominador te quedaron algunos $n^2 \cdot n^2$, esos los podés escribir directamente como $n^4$. 

Entonces, ahora el que "manda" en el denominador es $n^4$ -> Lo sacás factor común y lo vas a poder simplificar con el $n^4$ del numerador

El resultado te debería dar 4, avisame si llegasteee :)
Avatar Jhonatan 25 de mayo 21:09
Hola che una consulta como le sacaste en la raíz el 3/2 no lo entendí muy bonito eso 

Avatar Flor Profesor 26 de mayo 14:22
@Jhonatan Hola Jhonatan! Uy justo este es re cuentoso y no me termino de dar cuenta qué paso te generó dudas exactamente... Si querés sacale una captura de pantalla justo a esa parte y agregala acá como imagen, asi veo bien a qué parte te referis (poné Responder a este comentario asi me llega la notificación y ahi la veo!)
Avatar Juan 2 de mayo 21:56
Perfectoo eso lo entendi joya, pero ahora me quede en la parte en la que dice que ahora sacamos fac comun el que manda etc etc, por que luego de cambiar el 5 a 5x elevado a 5/2, luego se vuelve a cambiar a 5 raiz de x elevado solo a 3 + 1 y todo eso sobre x elevado a 5/2? Intente relacionarlo con la primera parte que tambien es un numero con exponente que se multiplica a una raiz pero ahi no hay cambio como en este.
Avatar Flor Profesor 2 de mayo 23:11
@Juan Uy no, ahí acabo de ver que en el medio del choclo escribí mal el código en una parte y adentro de una raíz me quedó cualquiera jaja... ahí lo acabo de corregir! 

Miralo con cariño porque es muuuy cuentoso, pero fijate que cuando saqué factor común $x^{5/2}$, puse un paso intermedio donde dividido todos los términos por $x^{5/2}$ y después ahí usas propiedades de potencias para reescribirlos... Acordate que cuando los tenés dividiendo, los exponentes se restan... Por eso, por ejemplo, $\frac{x^2}{x^{5/2}} = x^{2 - 5/2} = x^{-1/2}$
Avatar Juan 2 de mayo 23:15
Ahh perfecto! Entendido, graciass!!
Avatar Juan 2 de mayo 16:04
Consulta, como es el procedimiento en la parte de: Distribuimos las raices y usamos propiedades de potencias? No entiendo como paso de raiz de un numero x elevado a 3 a que el x que multiplica la raiz valga x elevado a 5/2.

Yo lo hice de esta manera que es sacando factor comun x en la raiz y luego reemplazando la raiz cuadrada de x elevado a 3, quedando un x elevado a 1. Ya que el 3 del x dentro de la raiz de simplifica con la raiz de 2. (No se si esto se puede aplicar asi o si me lo invente yo), y me termino dando el mismo resultado. Estará bien o hice algo mal?
2024-05-02%2016:04:42_4511668.png
Avatar Flor Profesor 2 de mayo 20:29
@Juan Hola Juan! Mirá, te escribo los pasos desglosados en la tablet que me parece que se va a entender mejor:

2024-05-02%2020:27:05_5261045.png

Y ahí te fui aclarando cómo reescribis por ejemplo $\sqrt{x^3}$. Eso por propiedades de potencias acordate que es lo mismo que tener $(x^3)^{1/2}$, después se multiplican los exponentes y te queda $x^{3/2}$

A vos te queda reescrito como $x^1$ pero eso está mal, lo correcto es  $\sqrt{x^3} = x^{3/2}$

Porfa avisame si esto queda más claro ahora :)
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