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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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1. Calcule los siguientes límites
e) lim⁡x→+∞x3+1−xx+5\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{3}+1}-x}{x+5}

Respuesta

Al igual que en el item anterior tenemos una indeterminación "infinito menos infinito". Arrancamos multiplicando y dividiendo por el conjugado:

lim⁡x→+∞(x3+1−x)(x3+1+x)(x+5)(x3+1+x) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(\sqrt{x^{3}+1}-x)(\sqrt{x^{3}+1}+x)}{(x+5)(\sqrt{x^{3}+1}+x)}

lim⁡x→+∞x3+1−x2(x+5)(x3+1+x) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{(x+5)(\sqrt{x^{3}+1}+x)}

Y ahora se viene cuentosa la situación eh, nada que ver con el item anterior (parecían muy iguales eehhh jaja pero no!) Vamos despacito, arrancamos haciendo la distributiva en el denominador:

lim⁡x→+∞x3+1−x2xx3+1+x2+5x3+1+5x=lim⁡x→+∞x3+1−x2xx3+1+x2+5x3+1+5x \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{x\sqrt{x^{3}+1} + x^2 + 5\sqrt{x^{3}+1} + 5x} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{x\sqrt{x^{3}+1} + x^2 + 5\sqrt{x^{3}+1} + 5x}

Sacamos factor común x3x^3 adentro de las raíces:

lim⁡x→+∞x3+1−x2xx3(1+1x3)+x2+5x3(1+1x3)+5x \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{x\sqrt{x^{3}(1+\frac{1}{x^{3}})} + x^2 + 5\sqrt{x^{3}(1+\frac{1}{x^{3}})} + 5x}

Distribuimos las raíces y usando propiedades de potencias nos queda:

lim⁡x→+∞x3+1−x2x521+1x3+x2+5x321+1x3+5x \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3 + 1 - x^2}{x^{\frac{5}{2}}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + x^2 + 5x^{\frac{3}{2}}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + 5x}

Ahora sacamos factor común "el que manda", que sería x3x^3 en el numerador y x52x^{\frac{5}{2}} en el denominador:

lim⁡x→+∞x3(1+1x3−1x)x52(1+1x3+x2x52+5x3/21+1x3x52+5xx52) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{x^{\frac{5}{2}}(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{x^2}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{5 x^{3/2}\sqrt{1 + \frac{1}{x^3}}}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{5x}{x^{\frac{5}{2}}})}

lim⁡x→+∞x3(1+1x3−1x)x52(1+1x3+x−12+5x−11+1x3+5x−32) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{x^{\frac{5}{2}}(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + x^{-\frac{1}{2}} + 5x^{-1}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + 5x^{-\frac{3}{2}})}

lim⁡x→+∞x3(1+1x3−1x)x52(1+1x3+1x12+5x1+1x3+5x32) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{x^{\frac{5}{2}}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{5}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}

Ufff, dale que ya casi terminamos. Ahora, de nuevo, por propiedades de potencias nos queda:

lim⁡x→+∞x(1+1x3−1x)(1+1x3+1x12+5x1+1x3+5x32)=+∞ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{5}{x^{\frac{3}{2}}}\right)} = +\infty

Problema cuentosísimo si los hay, tranqui que ahora afloja en los próximos 😅 Igual estuvo bueno para seguir optimizando y ganando fluidez en todo lo que es sacar factor común y trabajar con propiedades de potencias. 
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Jhonatan
25 de mayo 21:09
Hola che una consulta como le sacaste en la raíz el 3/2 no lo entendí muy bonito eso 
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Flor
PROFE
26 de mayo 14:22
@Jhonatan Hola Jhonatan! Uy justo este es re cuentoso y no me termino de dar cuenta qué paso te generó dudas exactamente... Si querés sacale una captura de pantalla justo a esa parte y agregala acá como imagen, asi veo bien a qué parte te referis (poné Responder a este comentario asi me llega la notificación y ahi la veo!)
0 Responder
Juan
2 de mayo 21:56
Perfectoo eso lo entendi joya, pero ahora me quede en la parte en la que dice que ahora sacamos fac comun el que manda etc etc, por que luego de cambiar el 5 a 5x elevado a 5/2, luego se vuelve a cambiar a 5 raiz de x elevado solo a 3 + 1 y todo eso sobre x elevado a 5/2? Intente relacionarlo con la primera parte que tambien es un numero con exponente que se multiplica a una raiz pero ahi no hay cambio como en este.
0 Responder
Flor
PROFE
2 de mayo 23:11
@Juan Uy no, ahí acabo de ver que en el medio del choclo escribí mal el código en una parte y adentro de una raíz me quedó cualquiera jaja... ahí lo acabo de corregir! 

Miralo con cariño porque es muuuy cuentoso, pero fijate que cuando saqué factor común x5/2x^{5/2}, puse un paso intermedio donde dividido todos los términos por x5/2x^{5/2} y después ahí usas propiedades de potencias para reescribirlos... Acordate que cuando los tenés dividiendo, los exponentes se restan... Por eso, por ejemplo, x2x5/2=x2−5/2=x−1/2\frac{x^2}{x^{5/2}} = x^{2 - 5/2} = x^{-1/2}
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Juan
2 de mayo 23:15
Ahh perfecto! Entendido, graciass!!
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Juan
2 de mayo 16:04
Consulta, como es el procedimiento en la parte de: Distribuimos las raices y usamos propiedades de potencias? No entiendo como paso de raiz de un numero x elevado a 3 a que el x que multiplica la raiz valga x elevado a 5/2.

Yo lo hice de esta manera que es sacando factor comun x en la raiz y luego reemplazando la raiz cuadrada de x elevado a 3, quedando un x elevado a 1. Ya que el 3 del x dentro de la raiz de simplifica con la raiz de 2. (No se si esto se puede aplicar asi o si me lo invente yo), y me termino dando el mismo resultado. Estará bien o hice algo mal?
2024-05-02%2016:04:42_4511668.png
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Flor
PROFE
2 de mayo 20:29
@Juan Hola Juan! Mirá, te escribo los pasos desglosados en la tablet que me parece que se va a entender mejor:

2024-05-02%2020:27:05_5261045.png

Y ahí te fui aclarando cómo reescribis por ejemplo x3\sqrt{x^3}. Eso por propiedades de potencias acordate que es lo mismo que tener (x3)1/2(x^3)^{1/2}, después se multiplican los exponentes y te queda x3/2x^{3/2}

A vos te queda reescrito como x1x^1 pero eso está mal, lo correcto es  x3= x3/2\sqrt{x^3} = x^{3/2}

Porfa avisame si esto queda más claro ahora :)
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